Les mathématiques modélisent le hasard pour l'économie
Les "suites" nous permettent ici de prévoir une eventualité lorsqu'une situation se répète, nous parlons alors de suite qui se distinguent en deux catégories, les suites géométriques, et les suites arithemétiques...
Il existe une infinité de phénomènes de la vie de tous les jours qui peuvent être «décrits » grâce aux suites numériques.
Il s'agit en effet de modéliser un bon nombre de situations de la vie courante. Nous ne parlons alors plus de hasard, celui-ci n'est plus considéré comme acteur principal d'un nouvel évènement, seulement personne n'est à l'abri d'une conséquence inattendue de la part du hasard.
Dans cet exercice les suites sont au service de l'économie et permettent à un gouvernement, une entreprise ou encore à un activité écoconomique nationnale de pouvoir prévoir toute éventualité sur leur situation économique... Ils pourront grâce aux suites être réactif face à quelquonques situations.
La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française. Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros.
Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française)
Années Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d’euros)
2008 81 295
2009 66 052
2010 64 690
2011 63 182
PARTIE A :
1) Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est −8, 06 % arrondi au centième.
2) Pour prévoir les montants realisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (Un). On note Uo le montant de 2011, en milliers d’euros, et Un le montant en 2011+n, en milliers d’euros. On a donc Uo=63182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8 %.
a) Montrer que (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) Exprimer, pout tout entier naturel N, Un en fonction de n.
c) Avec ce modèle quel montant peut on prévoir pour l’exportation des produits perlier de Polynesie Francaise en 2016 ? On arrondira au millier d’euros.
3) Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros.
1)
On cherche à trouver le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011
avec n=3 Vf=63182 Vd=81295
et,
Le coefficient multiplicateur associé à l'évolution globale sur les 3 années vaut :
CM= Vf/Vd
CM=63182/81295=0,7772
Pour trouver le coéfficient multiplicateur associé à l'évolution moyenne annuelle on élève le résultat précédent à la puissance (ou racine cubique) ce qui donne :
Coefmoyen= Cmultiplicateur^1/n
Coefmoyen= (0,7772)^1/3
=0,9194
Soit,
Coefmoyen=taux d’evolution annuel moyen+1
Taux d’evolution annuel moyen=Coefmoyen-1
Taux d’evolution annuel moyen=0,9194-1
Taux d’evolution annuel moyen=-8,06%
Le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est de −8, 06 %
2)a)
Uo correspond au montant de l’année 2011 ce montant subit une baisse annuelle de 8 % , soit à 92% de sa valeur:
Uo correspond au montant de l’année 2011 +1 soit ;
U1=63182-0,08x63182
U1= 58127,7
U1 correspond au montant de l’année 2011 +2 soit ;
U2=58127,4-0,08x58127,4
U2= 53477,2
Et, U1/Uo=58127,4/63124=0,92
U2/U1=53477,2/58127,4=0,92
De manière générale: (Un+1)/Un=0,92
Donc (Un) désigne de le montant l'année 2011+n ce montant subit une baisse annuelle de 8 % ce qui revient à multiplier Un par 0,92 pour obtenir le montant de l'année suivante, on a donc la relation : Un+1=qxUn
Donc (Un) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier therme Uo=63182.
b)
(Un) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier therme Uo=63182.
La formule explicite de la suite géométrique ainsi considérée est : Un=U0xq^n=63182x0,92^n
alors, Un=Uoxq^n
c)
Le rang n de l'année 2016 est n=5 (car 2016=2011+5). On remplace donc n par 5 dans la formule explicite de la suite ce qui donne :
U5=U0x0,92^5
U5=63182x0,92^5
U5=41642
Le montant que l’ont peut prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 est de 41642 E.
3) Il s'agit de calculer :
S=Uo+U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7+U8+U9
Sn=Uox((1-q^(n+1))/(1-q))
S9=63182x((1-0,92^(10))/(1-0,92))
S=63182x((1-0,92^10)/(0,08))
S=446706
Donc le montant cumulé entre 2011 et 2020 est d'environ 446 706 €.
4)
Etant donné la baisse des exportations de produits d’année en année le gouvernement polynésien a decidé d’arrêter de subvensionner ce secteur si les exportation arrivent à un seuil en dessous de 20000 €. A partir de quelle année le gouvernement Polynesien decide d’arrêter d’investir dans le secteur ?
On effectue une inéquation à l’aide de la formule explicite Un=63182x0,92^n
Un<20000
63182x0,92^n<20000
(0,92^n)< (20000/63182)
A=(20000/63182)
0,92^n>0 et A>0
alors, log(0,92^n)< log(A)
n x log(0,92)< log(A)
n>log(A)/log(0,92)
n>14
Soit à partir de 2025(incluse)
Le gouvernement Polynésien décidera d’arrêter d’investir dans le secteur à partir de 2025
PARTIE B :
Au 1er janvier 2011, une entreprise compte 1000 employés, une étude montre que chaque année à venir, 10% de l’effectif au 1er janvier partiront à la retraite au cours de l’année. Contenu de l’annonce faîte par le gouvernement, l’entreprise pour assurer sa santé financière décide de licencier 10 personnes par an. Pour tout nombre d’employés on appel Vn.
1)a) Calculer V0 ET V1
b) Expliquer pourquoi Vn+1=0,9xVn-10
2) Vn étant une suite arithmetico géometrique. On pose Wn=Vn+100
a)Démontrer que la suite W de terme général Vn est géométrique, on précisera la raison.
b) Exprimer Wn en fonction de n
3) L’entreprise prevoit de retablir sa stabilité financière si son effectif est inferieur à 700 E et donc d’arreter de licencier. À partir de quelle année cela se produira t'il ?
1)a)
Vo correspond au nombre d’employés initial de l’ entreprise soit 1000 salariés.
V1 correspond au nombre d’employés un an apres les premiers licenciments de l’entreprise soit :
V1=1000-(0,1x1000)-10
V1=890
Un an apres les premiers licenciements de l’entreprise il reste 890 salariés.
b)
V1=V0-0,1xV0-10
V1=0,9xV0-10
Avec,
Vn, l'effectif de l'entrprise pour 2011+n
Et Vn+1 l'effectif pour l'année 2011+n+1.
On passe de Vn à Vn+1 en conservant 90% des employés de l'année (0,9 Vn) et en licenciant 10 personnes par.
La formule implicite est donc Vn+1=0,9xVn-10
2)a
Wn=Vn+100
Wn+1=Vn+1+100
Wn+1=0,9xVn-10+100
Wn+1=0,9xVn+90
Wn+1=0,9x(Vn+100)
Wn+1=0,9xWn
Donc, Wn+1=qxWn
Donc il s'agit d'une suite géometrique de raison q=0,90
Et de premier therme Wo:
Wo=V0+100
Wo=1000+100
Wo=1100
b)
(Wn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier therme Uo=1000.
Sachant que le premier terme de la suite géométrique Wn est W0=1100 :
Wn=W0x(0,9)^n
Wn=1100x(0,9)^n
La formule implicite est donc Wn=1100x(0,9)^n
3)
On utilise la formule implicite Wn=1100x(0,9)^n
Wn=Wn=Vn+100
Vn=Wn-100
Vn=1100x0,90^n-100
On cherche n sachant que Vn<700
1100x0,90^n-100<700
1100x0,90^n<800
0,90^n<800/1100
pour 800/1100=A
avec, 0,90^n>0 et A>0
log(0,90^n)<log(A) n x log(0,90)<log(A)
n>(log(A)/log(0,90)
n>2,11
Dans plus de 2ans l’entreprise rétablira sa situation finaciere et arrêtera ses licenciments.