Les mathématiques modélisent le hasard pour la science
On dira qu'un évènement se produit par hasard quand on doit s'en remettre au calcul des probabilités pour respecter leur chance respective d'apparition.
Une probabilité est souvent ramenée à un calcul mathématique qui définie, la probabilité (ou la chance) qu’un événement donné se produisent. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. 0 signifie que l’événement n’arrivera jamais et 1 que l’événement arrivera à coup sûr.
Les probabilités servent à calculer l’incertitude, elles servent donc à calculer ou plus exactement à quantifier quelques choses que nous ne connaissons pas. Elles nous permettent de pouvoir "contrôler" le hasard et connaître de quelle manière celui-ci va s'effectuer sur un événement. Sans pour autant pouvoir le prédir.
Dans cet exercice nous pouvont modéliser des resultats scientifiques de façon à pouvoir aider la science grâce à des calculs représentatifs ou non de la réalité.
1000 femmes en couple sont contraintes d’avoir recours a une fécondation in vitro FIV pour avoir des enfants. D’apres des études de l’agence biomédecine :
-Une fivette amène à une grossesse avec une probabilité de 23%
-Une grossesse survenue apres une fivette conduit à un accouchement dans 75% des cas
-En cas d’accouchement, le couple aura un seul enfant avec une probabilité de 76% (sinon ce sont de jumeaux)
-Une grossesse sur quatre survenue après une fivette aboutit à une fausse couche
On choisit au hasard un couple ayant décidé de poursuivre une procédure de FIV. À l’aide d’un arbre pondéré dûment complété, calculer :
la probabilité que ce couple ait un seul enfant
la probabilité que ce couple ait des jumeaux
la probabilité que ce couple n’ait pas d’enfants suite à une telle démarche (injection)
P(G) = probabilité qu'il y ait une grossesse
P(NG) = probabilité qu'il n'y ait de grosses
P(A) = probabilité qu'il y ait un accouchement
P(NA) = probabilité qu'il n'y ait pas d'accouchement
P(1E) = probabilité que la femme obtienne un enfant
P(2E) = probabilité que la femme obtienne deux enfants
P(a) = P(G ∩ A ∩ 1E) = P(G) x P(A) x P(1E) = 0,23 x 0,75 x 0,76 = 0,1311 = 13,11%
P(b) = P(G ∩ A ∩ 2E) = P(G) x P(A) x P(2E) = 0,23 x 0,75 x 0,24 = 0,0414 = 4,14%
P(c) = P(NG) + P(G ∩ NA) = P(NG) + P(G) x P(NA) = 0,77 + (0,23 x 0,25) = 0,8275 = 82,75%
Sur un ensemble de1000 femmes, on estime 13,11% femmes ayant eu un enfant. (D’après des études de l’agence biomédecine).
La proportion de femme ayant eu un enfant dans la population totale est estimée à 70%.
On fait l’hypothèse que l’echantillon est représentatif de la réalité.
Quel pouvait être l’intervalle dans lequel se trouve la proportion des femmes ayant eu un enfant suite à une fivette ?
Vérifions les conditions :
-n doit être plus grand que 30 : n = 1000, condition validée.
-n × p doit être plus grand que 5 : n × p = 1000 × 0,1311 = 131,1 condition validée.
-et n × (1-p) doit être plus grand que 5 : n × (1-p) = 1000 × (1-0,1311) = 868,9 condition validée.
Intervalle dans lequel devrait se trouver la proportion de femme ayant eu un enfant de la population totale si l’hypothèse était vérifiée avec un niveau de confiance de 95 %, p devrait être dans l’intervalle :
I95 = [ p - [ 1, 96 x √( (p(1-p)) /√ n) ] ; p + [ 1, 96 x √( (p(1-p)) /√ n) ]
I95 = [ 0, 1311 - [ 1, 96 x √( ( 0, 1311 x 0, 8689 ) / √1000) ] ; 0, 1311 + [ 1, 96 x √( ( 0, 1311 x 0, 8689 ) / √1000 ] ]
I95 = [ 0, 110181 ; 0, 152019 ]
La valeur réelle est dans l’échantillon, au risque d’erreur de 5 % (ou au seuil de confiance de 95 %), on accepte l’hypothèse. L’échantillon est donc représentatif de la population.
Toujours sur un ensemble de1000 femmes, on estime 4,14% femmes ayant eu des jumeaux enfant. (D’apres des études de l’agence biomédecine).
La proportion de femme ayant eu deux enfants dans la population totale est estimée à 35%.
On fait l’hypothese que l’echantillon est représentatif de la réalité.
Quel pouvait être l’intervalle dans lequel se trouve la proportion des femmes ayant eu des jumeaux suite a une fivette ?
Vérifions les conditions :
-n doit être plus grand que 30 : n = 1000, condition validée.
-n × p doit être plus grand que 5 : n × p = 1000 × 0,0414 = 41,4 condition validée.
-et n × (1-p) doit être plus grand que 5 : n × (1-p) = 1000 × (1-0,0414) = 958,6 condition validée.
Intervalle dans lequel devrait se trouver la proportion de femme ayant eu un enfant de la population totale si l’hypothèse était vérifiée avec un niveau de confiance de 95 %, p devrait être dans l’intervalle :
I95 = [ p - [ 1,96 x √( (p(1-p)) / √n) ] ; p + [ 1,96 x √( (p(1-p)) / √n) ]
I95 = [ 0, 0414 - [ 1,96 x √( ( 0, 0414 x 0, 9586 ) / √1000) ] ; 0, 0414 + [ 1, 96 x √( ( 0, 0414 x 0, 9586 ) / √1000 ] ]
I95 = [ 0, 029053 ; 0, 053747 ]
La valeur réelle est dans l’échantillon, au risque d’erreur de 5 % (ou au seuil de confiance de 95 %), on n’accepte l’hypothèse. L’échantillon est donc représentatif de la population.